[유한요소법] 6. 강성행렬 감잡기 (2) 선형 스프링 2개 직렬

지난시간에는 선형 스프링 하나에 힘 T가 가해진 경우의 강성행렬을 구했습니다. 

오늘은 스프링을 하나 추가해서, 스프링 두개가 직렬로 연결된 경우의 강성행렬을 구해봅시다. 

---

스프링 1에서의 힘-변위 방정식

스프링 1의 자유물체도는 아래와 같습니다. 

 

 

스프링1의 늘어난 길이를 $\delta_{1}$ 이라고 한다면 아래 등식이 성립합니다. 

 

$T=k_{1}\delta_{1}$

 

노드1의 변위를 $u_{1}$, 노드2의 변위를 $u_{2}$로 놓으면 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$T=k_{1}(u_{2}-u_{1})$

 

노드 1에 가해지는 하중을 $f^{(1)}_{1}$ 이라고 놓겠습니다. 위 첨자는 스프링번호이고 아래첨자는 노드번호입니다. 노드2에 가해지는 하중은 $f^{(1)}_{2}$ 입니다. 이때 아래 등식이 성립합니다 .

 

$f^{(1)}_{1}=-T=-k_{1}(u_{2}-u_{1})$

$f^{(1)}_{2}=T=k_{1}(u_{2}-u_{1})$

 

행렬로 만들면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(1)}_{1}\\ 
f^{(1)}_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{1} &-k_{1} \\ 
-k_{1} &k_{1} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}
\end{bmatrix}$

---

스프링 2에서의 힘-변위 방정식

스프링 2의 자유물체도는 아래와 같습니다. 

 

스프링2의 늘어난 길이를 $\delta_{2}$ 이라고 한다면 아래 등식이 성립합니다.

 

$T=k_{2}\delta_{2}$

 

노드2의 변위를 $u_{2}$, 노드3의 변위를 $u_{3}$로 놓으면 위 식을 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

 

$T=k_{2}(u_{3}-u_{2})$

 

노드 2에 가해지는 하중을 $f^{(2)}_{2}$ 이라고 놓겠습니다. 위 첨자는 스프링번호이고 아래첨자는 노드번호입니다. 노드3에 가해지는 하중은 $f^{(2)}_{3}$ 입니다. 이때 아래 등식이 성립합니다 .

 

$f^{(2)}_{2}=-T=-k_{2}(u_{3}-u_{2})$

$f^{(2)}_{3}=T=k_{2}(u_{3}-u_{2})$

 

행렬로 만들면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(2)}_{2}\\ 
f^{(2)}_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{2} &-k_{2} \\ 
-k_{2} &k_{2} 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

---

식 조립하기

스프링1과 2에서 구한 행렬형태의 수식을 풀어서 쓰면 아래와 같습니다. 

 

$f^{(1)}_{1}=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2} \\
f^{(1)}_{2}=-k_{1}u_{1}+k_{1}u_{2} \\
f^{(2)}_{2}=k_{2}u_{2}-k_{2}u_{3} \\
f^{(2)}_{3}=-k_{2}u_{2}+k_{2}u_{3}$

 

아래와 같이 변형할 수 있습니다.

 

$f^{(1)}_{1}=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3} \\
f^{(1)}_{2}=-k_{1}u_{1}+k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3} \\
f^{(2)}_{2}=0\cdot u_{1}+k_{2}u_{2}-k_{2}u_{3} \\
f^{(2)}_{3}=0\cdot u_{1}-k_{2}u_{2}+k_{2}u_{3}$

가운데 두 식을 더해줍시다. 같은 node에 가해지는 힘 끼리 더해준 것입니다. 

 

$\begin{align} f^{(1)}_{1}&=k_{1}u_{1}-k_{1}u_{2}+0\cdot u_{3} \\
f^{(1)}_{2}+f^{(2)}_{2}&=-k_{1}u_{1}+(k_{1}+k_{2})u_{2}-k_{2}u_{3}  \\
f^{(2)}_{3}&=0\cdot u_{1}-k_{2}u_{2}+k_{2}u_{3}
\end{align}$

 

행렬형태로 바꿔줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f^{(1)}_{1}\\ 
f^{(1)}_{2}+f^{(2)}_{2}\\ 
f^{(2)}_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{1} & -k_{1}  & 0\\ 
-k_{1} & (k_{1}+k_{2})  & -k_{2} \\ 
0 & -k_{2} & k_{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

---

변위 구하기

각 노드에 가해진 힘을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
-T\\ 
0\\ 
T
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{1} & -k_{1}  & 0\\ 
-k_{1} & (k_{1}+k_{2})  & -k_{2} \\ 
0 & -k_{2} & k_{2}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}\\ 
u_{2}\\ 
u_{3}
\end{bmatrix}$

 

양변에 역행렬을 곱해주면 되는데, 역행렬이 없습니다. 해가 무수히 많은 방정식입니다.