[유한요소법] 2D 트러스 요소 자세한 설명

2D Truss 요소는 1차원 bar element 를 연결해서 만든 구조물입니다. 

 

1. Truss 구조물을 푸는 목적과 방법

아래와 같은 Truss 구조물이 있습니다. 

 

 

각 부재의 길이, 물성, 단면 면적은 $L_{1}$, $L_{2}$, E, A 로 주어져 있습니다. 길이만 다르고 물성과 단면의 넓이는 같습니다. 

 

우리가 구하고 싶은 것이 무엇인지 먼저 이야기해 봅시다. 아래와 같습니다. 

 

"각 node 의 변위와 각 element에 작용하는 하중"

 

우리가 알고 있는 정보가 무엇인지 생각해봅시다. 우리는 아래 값들을 알고 있습니다. 

 

"노드 1과 3에서의 변위가 0이다"

"노두 2에는 x방향으로 2P, y방향으로 -P 만큼의 힘이 작용한다"

 

식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$u_{1}$=0

$v_{1}$=0

$u_{3}$=0

$v_{3}$=0

$f_{2x}=2P$

$f_{2y}=-P$

 

이제 어떻게 해야 할까요? 아무것도 모르는 상태로 방법을 찾아가보는게 공부에는 가장 좋고 저도 선호하는 방법입니다만, 이번 경우에는 쉽지 않고 아주 오래걸릴 겁니다. 이미 이런 과정을 거친 사람들이 생각해낸 절차를 함께 배워보는 편이 나을겁니다.

 

사람들은 위 문제를 풀기위한 아래와 같은 절차를 발견했습니다. 

 

1) 각 부재별로 로컬 좌표계에서 힘과 변위 관계식을 세움 

2) 위 관계식을 글로벌 좌표계로 변형함

3) 모든 부재의 관계식을 하나로 합침

4) 주어진 정보를 대입함

5) 미지의 값들을 구함

 

유한요소법에 기반한 절차입니다. 위 트러스 문제를 푸는 다른 방법들도 물론 있습니다. 

 

한번 위 절차를 따라가봅시다. 

 

각 element 별로 분해해서 node 에 작용하는 힘과 변위를 나타내면 아래와 같습니다. 

 

 

각 요소의 로컬 좌표계에서의 x방향 변위는 u' 입니다. y뱡향 변위는 v' 인데 truss 에서는 y방향 변위가 없으므로 u'

 만 나타내었습니다. 

 

각 노드에 작용하는 힘은 f 를 이용하여 나타냈습니다. 첨자에 대한 설명을 하겠습니다. 

 

$f_{1x}^{'(1)}$에서 위첨자는 element 번호,  아래첨자는 node 번호와 방향, 어퍼스트로피 ' 는 local 임을 의미합니다. 따라서 $f_{1x}^{'(1)}$ 의 의미는 element 1의 node 1에 작용하는 로컬좌표계 기준 x방향 힘 입니다. 

 

element 1 로컬 좌표계에서의 평형방정식을 세우면 아래와 같습니다. 아래 식이 이해가 안되는 분들은 1차원 bar 요소 강의를 참고하시면 됩니다. 

 

$ \begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix} $           (1.1)

 

element 2 로컬 좌표계의 평형방정식도 세워보면 아래와 같습니다. 

 

$ \begin{bmatrix}
f_{2x}^{'(2)} \\
f_{3x}^{'(2)}
\end{bmatrix}
=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{2}^{'} \\
u_{3}^{'}
\end{bmatrix} $         (1.2)

 

각 node 에는 x 방향으로의 힘과 변위만 작용합니다. 

 

이제 두 행렬식을 조립해주어야 하는데요. 좌표계가 서로 달라서 조립해줄 수가 없습니다. 따라서 두 방정식을 글로벌 좌표계에 대한 식으로 변환해야 합니다. 

 

우리가 최종적으로 얻고싶은 수식은 아래와 같습니다. 

 

2.  로컬 변위와 하중 to 글로벌

2.1 변환 관계식 찾기

element 1의 node 1에서의 x방향 변위는 $u_{1}^{'}$ 입니다. 이 변위를 글로벌 좌표계 기준으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

 

$u_{1}$ 과 $v_{1}$은 글로벌 좌표계에서의 x와 y방향 변위 입니다. 우리가 지금 하고 싶은 것은 로컬 좌표계의 벡터인 $u_{1}^{'}$ 을 글로벌 좌표계의 벡터로 나타내고 싶은 상황입니다. 따라서 관계식을 얻어야 합니다. 

 

위 그림에서 아래 식을 수 있습니다. 

 

$u_{1}=u_{1}^{'}\cos\theta$

$v_{1}=u_{1}^{'}\sin\theta$

 

위 원리를 element 1의 node 2에 적용하면 아래 식을 얻을 수 있습니다. 

 

$u_{2}=u_{2}^{'}\cos\theta$

$v_{2}=u_{2}^{'}\sin\theta$

 

여기서 $\theta$ 는 무엇일까요? element 1이 지면과 이루는 각도라고 말하면 어떤 상황에서는 틀리게 됩니다. 아래와 같이 element 1이 배치된 경우에는 맞지 않습니다. 

 

 

이때  $u_{1}$과 $v_{1}를 표시해보면 아래와 같습니다. 

 

 

이때 $u_{1}$은 음수가 되어야 하는데 $\theta$를 지면과의 각도로 정의하면 둘다 양수가 나옵니다. $\theta$ 는 아래와 같이 정의해야 합니다. 

 

 

element 1이 지면에 평행한 상태에서 node 1을 기준으로 회전한 각도입니다. 

 

위에서 얻은 식들을 모아봅시다. element 1에서의 node1과 node2 의 로컬 변위와 글로벌 변위에 대한 관계식입니다. 

 

$u_{1}=u_{1}^{'}\cos\theta$

$v_{1}=u_{1}^{'}\sin\theta$

$u_{2}=u_{2}^{'}\cos\theta$

$v_{2}=u_{2}^{'}\sin\theta$

 

행렬 형태로 바꿔줍시다. 

 

$ \begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 \\
\sin\theta & 0 \\
0 & \cos\theta \\
0 & \sin\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix}$

 

로컬 force 인 f 에서도 같은 원리를 적용하면 아래 식을 얻습니다. 

 

$ \begin{bmatrix}
f_{1x}^{(1)} \\
f_{1y}^{(1)} \\
f_{2x}^{(1)} \\
f_{2y}^{(1)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 \\
\sin\theta & 0 \\
0 & \cos\theta \\
0 & \sin\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)}
\end{bmatrix}$

 

이제 위 관계식을 이용하여 1.1번식을 변형하기 위해 1.1번식을 가져옵시다. 

 

$ \begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix} $     

 

이제 양변에 아래 식을 곱해주어서 로컬 변위와 force 를 글로벌 변위와 force로 바꿔줘야 하는데요. 

 

$\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 \\
\sin\theta & 0 \\
0 & \cos\theta \\
0 & \sin\theta \\
\end{bmatrix} $

 

우변이 처리가 안됩니다. 곱해지지가 않습니다. 

 

이 변환 방법으로는 안된다는 걸 알 수 있습니다. 다른 변환 방법을 찾아야 합니다. 

 

2.2 변환 관계식 다시 찾기

아래 그림을 봅시다. 아래와 같은 변환도 생각해볼 수 있습니다. 

 

 

관계식을 만들어보면 아래와 같습니다. 

 

$u_{1}^{'}=u_{1}\cos\theta+v_{1}\sin\theta$

 

element 1의 node 2에도 적용하면 아래와 같습니다. 

 

$u_{2}^{'}=u_{2}\cos\theta+v_{2}\sin\theta$

 

두 식을 행렬 형태로 변형해줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta  \\
\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2}
\end{bmatrix}$    (2.2.1)

 

force 에도 같은 원리를 적용하면 아래 식을 얻습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta  \\
\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
f_{1x} \\
f_{1y} \\
f_{2x} \\
f_{2y}
\end{bmatrix}$     (2.2.2)

 

(1.1) 식을 가져옵시다. 

 

$ \begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix} $           (1.1)

 

(2.2.1)과 (2.2.2) 식을 위 식에 대입합시다. 

 

$ \begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
f_{1x} \\
f_{1y} \\
f_{2x} \\
f_{2y}
\end{bmatrix} 
=
\frac{AE}{L}
\begin{bmatrix}
1 &-1  \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta  & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2}
\end{bmatrix} $

 

결과적으로 얻고 싶은 수식은 $ \left<f \right>=[K]\left< u \right>$ 형태의 수식입니다. 좌변의 첫번째 행렬의 역행렬을 양변에 곱해주어야 하는데 정방행렬이 아니라 역행렬을 구하는 것이 불편합니다. 

 

정방행렬로 만들 방법이 있는데요. 일반적인 좌표변환을 이용하는 것입니다. 

 

설명이 꽤 많이 돌아가는 것 같아 보이는데 의도적으로 이렇게 하는 것입니다. 결과만 이야기하면 학습이 되지 않습니다. 보통의 사람이 접근하는 방식과 시행착오 과정을 겪는 것이 이해에 도움이 됩니다. 

 

2.3 일반적인 좌표계 변환

우리가 위에서 했던 좌표계 변환은 특수한 경우입니다. Truss 특성상 각 element 에 작용하는 변위와 하중의 방향이 로컬 x축과 일치합니다. 따라서  element1에 있는 node1의 변위에서는 $u_{x}^{'}$ 만 있고, 하중에서는 $f_{1x}^{'(1)'}$만 있었는데요. 이번에는 일반적인 좌표변환 수식을 유도해봅시다. 

 

글로벌 좌표계에 아래와 같은 벡터가 하나 놓여 있습니다. 

 

 

벡터 d는 아래와 같이 표현됩니다. 

 

$\vec{d}=u\vec{i}+v\vec{j}$ 

 

로컬 좌표계를 아래와 같이 잡아봅시다. 

 

 

아래와 같이 u'과 u,v 의 관계를 나타내는 그림(좌)과 v'과 u,v 의 관계를 나타내는 그림(우)를 만들 수 있습니다. 

 

 

수식을 유도하면 아래와 같습니다. 

 

$u^{'}=u\cos\theta+v\sin\theta$

$v^{'}=-u\sin\theta+v\cos\theta$

 

행렬 계산 형태로 바꿔주면 아래와 같습니다.

 

$\begin{bmatrix}
u^{'} \\
v^{'}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v
\end{bmatrix} $

 

element1의 node1과 node2에 위와 같은 좌표변환을 적용하고 하나의 행렬 계산식으로 합치면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
v_{1}^{'} \\
u_{2}^{'} \\
v_{2}^{'}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
-\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & 0 & -\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2}
\end{bmatrix} $

 

간략하게 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\left< d' \right>=[T]\left<d \right>$    (2.3.2)

 

하중벡터의 좌표변환에도 동일한 원리를 적용하면 아래 수식을 얻습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{1y}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)} \\
f_{2y}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
-\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & 0 & -\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
f_{1x}^{(1)} \\
f_{1y}^{(1)} \\
f_{2x}^{(1)} \\
f_{2y}^{(1)}
\end{bmatrix} $

 

간략하게 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\left< f' \right>=[T]\left<f \right>$    (2.3.3)

 

일반적인 변환 수식을 모두 유도하였습니다. 이제 우리가 유도하던 하중-변위 식을 변형하여 일반적인 변환 수식을 적용할 수 있도록 할 겁니다. 

 

2.4 element 하중 변위 식을 [4x4] 행렬로 만들기

(1.1) 식을 가져옵시다. 

 

$ \begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix} $     

 

위 식을 [4x4] 행렬 형태로 바꿔보겠습니다. local y방향 하중이 0이 되도록 만들면 됩니다. $v_{1}^{'}$과 $v_{2}^{'}$은 변형 과정에서 사라지므로 신경 안쓰셔도 됩니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{1y}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)} \\
f_{2y}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=
\frac{AE}{L}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
v_{1}^{'} \\
u_{2}^{'} \\
v_{2}^{'}
\end{bmatrix} $

 

간단히 나타내면 아래와 같습니다. 

 

$\left< f' \right>=[k']\left<u' \right>$   (2.3.4)

 

식 (2.3.2)와 (2.3.3)을 가져옵시다. 

 

$\left< d' \right>=[T]\left<d \right>$  
$\left< f' \right>=[T]\left<f \right>$

 

식 (2.3.4)에 대입합시다. 

 

$[T]\left< f \right>=[k'][T]\left<u \right>$

 

양 변에 [T]의 역행렬을 곱해줍니다. 

 

$\left< f \right>=[T]^{-1}[k'][T]\left<u \right>$

 

이제 우리는 어떤 요소의 글로벌 변위와 글로벌 하중 사이의 관계식을 세울 수 있게 되었습니다. 

 

재밌게도 [T]는 직교행렬입니다. 직교행렬에 대한 설명은 링크를 참고하세요. 

 

직교행렬에서는 아래 등식이 성립합니다. 

 

$[T]^{-1}=[T]^{T}$

 

유도하던 식에 대입합니다. 

 

$\left<f \right>=[T]^{T}[k'][T]\left< d \right>$

 

이로써 우리는 element1의 글로벌 변위와 글로벌 하중 사이의 관계식을 얻었습니다. 글로벌 강성행렬 [k]는 아래와 같습니다. 

 

$[k]=[T]^{T}[k'][T]=\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & 0 & \sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}
\frac{AE}{L}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
-\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & 0 & -\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix} $

 

스칼라 항을 앞으로 보내고, 첫번째와 두번째 행렬을 곱해주면 결과는 아래와 같습니다. 

 

$[k]=[T]^{T}[k'][T]=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
\cos\theta & 0 & -\cos\theta & 0 \\
\sin\theta & 0 & -\sin\theta & 0 \\
-\cos\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \sin\theta & 0 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
-\sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta \\
0 & 0 & -\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}$

 

계산된 두 행렬을 곱해주면 아래 식을 얻습니다. 

 

$[k]=[T]^{T}[k'][T]=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
\cos^{2}\theta & \cos\theta\sin\theta & -\cos^{2}\theta & -\cos\theta\sin\theta \\
\cos\theta\sin\theta & \sin^{2}\theta & -\cos\theta\sin\theta & -\sin^{2}\theta \\
-\cos^{2}\theta & -\cos\theta\sin\theta & \cos^{2}\theta & \cos\theta\sin\theta \\
-\cos\theta\sin\theta & -\sin^{2}\theta & \cos\theta\sin\theta & \sin^{2}\theta \\
\end{bmatrix}$

 

위 행렬이 truss element 의 글로벌 강성행렬입니다. 

 

element 들의 글로벌 행렬을  조립해야합니다. 

 

3. 예제 문제에 적용해보기

아래 문제를 가지고 element 들의 글로벌 강성행렬을 만들고, 어떻게 조립하는지 알아봅시다. 

 

3.1 element 1의 글로벌 하중-변위 관계식

element 1의 $\theta$는 30도이므로 글로벌 하중-변위 관계식은 아래와 같습니다. 식이 길어서 코사인은 C 사인은 S로 나타내었습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1x}^{(1)} \\
f_{1y}^{(1)} \\
f_{2x}^{(1)} \\
f_{2y}^{(1)}
\end{bmatrix}
=
\frac{AE}{L_{1}}
\begin{bmatrix}
C^{2}(30^{\circ}) & C(30^{\circ})S(30^{\circ}) & -C^{2}(30^{\circ})   & -C(30^{\circ})S(30^{\circ}) \\
C(30^{\circ})S(30^{\circ}) & S^{2}(30^{\circ}) & -C(30^{\circ})S(30^{\circ}) & -S^{2}(30^{\circ}) \\
-C^{2}(30^{\circ}) & -C(30^{\circ})S(30^{\circ}) & C^{2}(30^{\circ}) & C(30^{\circ})S(30^{\circ}) \\
-C(30^{\circ})S(30^{\circ}) & -S^{2}(30^{\circ}) & C(30^{\circ})S(30^{\circ}) & S^{2}(30^{\circ}) \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2}
\end{bmatrix} $

 

3.2 element 2의 글로벌 하중-변위 관계식

element 2의 $\theta$는 30도이므로 글로벌 하중-변위 관계식은 아래와 같습니다. 식이 길어서 코사인은 C 사인은 S로 나타내었습니다. 

 

 $\begin{bmatrix}
f_{2x}^{(2)} \\
f_{2y}^{(2)} \\
f_{3x}^{(2)} \\
f_{3y}^{(2)}
\end{bmatrix}
=
\frac{AE}{L_{2}}
\begin{bmatrix}
C^{2}(120^{\circ}) & C(120^{\circ})S(120^{\circ}) & -C^{2}(120^{\circ})   & -C(120^{\circ})S(120^{\circ}) \\
C(120^{\circ})S(120^{\circ}) & S^{2}(120^{\circ}) & -C(120^{\circ})S(120^{\circ}) & -S^{2}(120^{\circ}) \\
-C^{2}(120^{\circ}) & -C(120^{\circ})S(120^{\circ}) & C^{2}(120^{\circ}) & C(120^{\circ})S(120^{\circ}) \\
-C(120^{\circ})S(120^{\circ}) & -S^{2}(120^{\circ}) & C(120^{\circ})S(120^{\circ}) & S^{2}(120^{\circ}) \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{2} \\
v_{2} \\
u_{3} \\
v_{3}
\end{bmatrix}$

 

3.3 element 1,2 의 글로벌 하중-변위식 조립하기

element 1과  2의 글로벌 하중-변위식을 조립하여 하나의 힘과-변위의 관계식을 만들 것입니다. 두 식을 아래와 같이 중첩해줍니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1x}^{(1)} \\
f_{1y}^{(1)} \\
f_{2x}^{(1)}+f_{2x}^{(2)} \\
f_{2y}^{(1)}+f_{2y}^{(2)} \\
f_{3x}^{(2)} \\
f_{3y}^{(2)}
\end{bmatrix}
=AE
\begin{bmatrix}
\frac{C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & 0 & 0 \\
\frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & 0 & 0 \\
\frac{-C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} \\
\frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} \\
0 & 0 & \frac{-C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} \\
0 & 0 &  \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}}  
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2} \\
u_{3} \\
v_{3}
\end{bmatrix}$

 

좌변의 하중은 해당 노드에 가해지는 각 요소에서의 하중을 더한 것이므로, 해당 요소에 가해지는 하중의 합력을 의미합니다. 아래와 같이 각 노드에 가해지는 하중의 합력을 의미하는 기호로 바꿔줍니다. 위첨자가 없어졌습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
f_{1x} \\
f_{1y} \\
f_{2x} \\
f_{2y} \\
f_{3x} \\
f_{3y}
\end{bmatrix}
=AE
\begin{bmatrix}
\frac{C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & 0 & 0 \\
\frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & 0 & 0 \\
\frac{-C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} \\
\frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} \\
0 & 0 & \frac{-C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} \\
0 & 0 &  \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}}  
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2} \\
u_{3} \\
v_{3}
\end{bmatrix}$

 

이제 알고있는 값들을 대입합니다. 위 그림에서 A,E는 알고 있는 값이고, 행렬 안의 값들은 계산할 수 있습니다. 

 

하중 조건은 아래와 같습니다.

 

$f_{1x}=??$

$f_{1y}=??$

$f_{2x}=2P$

$f_{2y}=-P$

$f_{3x}=??$

$f_{3y}=??$

 

경계조건은 아래와 같습니다. 

 

$u_{1}=0$

$v_{1}=0$

$u_{2}=??$

$v_{2}=??$

$u_{3}=0$

$v_{3}=0$

 

대입하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} 
?? \\ 
??\\ 
2P \\ 
-P \\
?? \\ 
??
\end{bmatrix} 
=AE 
\begin{bmatrix} 
\frac{C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & 0 & 0 \\ 
\frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & 0 & 0 \\ 
\frac{-C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} \\ 
\frac{-C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} \\ 
0 & 0 & \frac{-C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} \\ 
0 & 0 &  \frac{-C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{-S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}}   
\end{bmatrix}  
\begin{bmatrix} 
0\\ 
0 \\ 
u_{2} \\ 
v_{2} \\ 
0 \\ 
0
\end{bmatrix}$

 

0이되는 항들과 모르는 항들을 제외하면 아래 식이 남습니다. 

 

$ \begin{bmatrix}
2P \\
P
\end{bmatrix}
=AE
\begin{bmatrix}
\frac{C^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C^{2}(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} \\ 
\frac{C(30^{\circ})S(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{C(120^{\circ})S(120^{\circ})}{L_{2}} & \frac{S^{2}(30^{\circ})}{L_{1}}+\frac{S^{2}(120^{\circ})}{L_{2}}
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{2} \\
v_{2}
\end{bmatrix} $

 

역행렬을 양변에 곱해서 $u_{2}$와 $v_{2}$ 를 구하면 됩니다. 

 

이렇게 하면 모든 node 의 글로벌 변위가 구해집니다. 

 

3.4 각 element 에 작용하는 하중

element 1에 작용하는 하중을 계산해봅시다. 먼저 element 1의 로컬 변위를 구해야 합니다. local 변위는 2.2.1식을 이용해서 구할 수 있습니다. 가져와봅시다. 

 

$\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos\theta & \sin\theta  \\
\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
u_{1} \\
v_{1} \\
u_{2} \\
v_{2}
\end{bmatrix}$    

 

이렇게 로컬 변위를 구하고 1.1식인 로컬 변위-하중 식을 이용하여 로컬 하중을 구할 수 있습니다. 

 

$ \begin{bmatrix}
f_{1x}^{'(1)} \\
f_{2x}^{'(1)}
\end{bmatrix}
=\frac{AE}{L}\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
-1 & 1 \\
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
u_{1}^{'} \\
u_{2}^{'}
\end{bmatrix} $

 

4. 2D Truss 풀이 방법의 일반화

1) 각 element 에서 하중-변위 관계식을 세웁니다. 

2) 각 element  의 하중-변위 관계식을 로컬 좌표계에서 글로벌 좌표계로 변환합니다. 

3) 글로벌 좌표계로 표현된 관계식들을 하나의 식(글로벌 방정식)으로 조립합니다. 

4) 하중조건과 경계조건을 대입합니다. 

5) 글로벌 방정식을 풉니다. 글로벌 변위를 구하게 됩니다. 

6) 각 element 에 작용하는 하중을 구합니다.