어떤 정사각행렬 A가 있다고 합시다.
아래와 같이 열벡터로 나타낼 수 있습니다.
$ A=\begin{bmatrix}
| & & | \\
c_{1} & \cdots & c_{n} \\
| & & | \\
\end{bmatrix}$
A의 전치행렬은 아래와 같습니다.
$ A^{T}=\begin{bmatrix}
- & c_{1} & - \\
& \vdots & \\
- & c_{n} & - \\
\end{bmatrix}$
둘을 곱해봅시다.
$ A^{T}A=\begin{bmatrix}
- & c_{1} & - \\
& \vdots & \\
- & c_{n} & - \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
| & & | \\
c_{1} & \cdots & c_{n} \\
| & & | \\
\end{bmatrix} $
우변을 계산하면 아래와 같습니다.
$A^{T}A=\begin{bmatrix}
c_{1}\cdot c_{1}& \cdots & c_{1}\cdot c_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n}\cdot c_{1} & \cdots & c_{n}\cdot c_{n} \\
\end{bmatrix}$
역행렬과 전치행렬이 같다면 $A^{T}A=I$ 가 성립합니다. 위 식의 우변이 I가 되어야 합니다.
위 식의 우변이 I가 되려면 아래 조건을 만족해야 합니다.
1) $i=j$ 인 경우 $c_{i} \cdot c_{j}$ 는 1 이다.
2) $i \neq j$ 인 경우 $c_{i} \cdot c_{j}$ 는 0 이다.
1번은 A의 모든 열벡터의 크기가 1이라는 의미입니다. 2번은 A의 열백터들이 서로 직교한다는 의미입니다.
따라서 $A^{T}=A^{-1}$ 인 A는 모든 열벡터의 크기가 1이고, 서로 직교하는 행렬입니다. 이런 행렬을 '직교행렬(orthogonal matrix)'라고 부릅니다.
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