[선형대수학] 역행렬과 전치행렬이 같은 경우 (직교행렬)

어떤 정사각행렬 A가 있다고 합시다. 

 

아래와 같이 열벡터로 나타낼 수 있습니다. 

 

$A=\begin{bmatrix} | &  & | \\ c_{1} & \cdots & c_{n} \\ | &  & | \\ \end{bmatrix}$

 

A의 전치행렬은 아래와 같습니다.

 

$A^{T}=\begin{bmatrix} - & c_{1} & - \\  & \vdots  &  \\ - & c_{n} & - \\ \end{bmatrix}$

 

둘을 곱해봅시다. 

 

$A^{T}A=\begin{bmatrix} - & c_{1} & - \\  & \vdots  &  \\ - & c_{n} & - \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} | &  & | \\ c_{1} & \cdots & c_{n} \\ | &  & | \\ \end{bmatrix}$

 

우변을 계산하면 아래와 같습니다. 

 

 $A^{T}A=\begin{bmatrix} c_{1}\cdot c_{1}& \cdots & c_{1}\cdot c_{n} \\ \vdots & \ddots  & \vdots \\ c_{n}\cdot c_{1} & \cdots & c_{n}\cdot c_{n} \\ \end{bmatrix}$

 

역행렬과 전치행렬이 같다면 $A^{T}A=I$ 가 성립합니다. 위 식의 우변이 I가 되어야 합니다. 

 

위 식의 우변이 I가 되려면 아래 조건을 만족해야 합니다. 

 

1) $i=j$ 인 경우 $c_{i} \cdot c_{j}$ 는 1 이다. 

2) $i \neq j$ 인 경우 $c_{i} \cdot c_{j}$ 는 0 이다.

 

1번은 A의 모든 열벡터의 크기가 1이라는 의미입니다. 2번은 A의 열백터들이 서로 직교한다는 의미입니다. 

 

따라서 $A^{T}=A^{-1}$ 인 A는 모든 열벡터의 크기가 1이고, 서로 직교하는 행렬입니다. 이런 행렬을 '직교행렬(orthogonal matrix)'라고 부릅니다.