[정역학 요약정리] 4-4. 힘의 모멘트 - 벡터 공식화

4단원. 힘 시스템의 합력 
4-4. 힘의 모멘트 - 벡터 공식화

 

- 점 O에서 힘이 작용하는 점까지의 벡터는 $\vec{r}$이고, 작용하는 힘벡터는 $\vec{F}$일 때, 점 O에 작용하는 모멘트는 아래와 같음. 

$\vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F}$

 

o 크기

- 위 모멘트의 크기는 아래와 같음. d는 점 O로 부터 힘 벡터까지의 수직거리임. 

$M_{O}=rF\sin\theta=F(r\sin\theta)=Fd$

 

 

o 방향

- 벡터 $\vec{r}$과 벡터 $\vec{F}$에 오른손 법칙을 적용하여 결정함. 

o 작용선의 원리 (principle of transmissibility)

- 아래 세 경우의 모멘트는 동일함. 

 

 

o 데카르트 벡터 공식화

- 데카르트 벡터 형태로 모멘트를 계산하는 방법은 아래와 같음. 

$\vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ 
r_{x} & r_{y} &r_{z} \\ 
F_{x} & F_{y} &F_{z} 
\end{vmatrix}$

- 계산 결과는 아래와 같음. 

$\vec{M}_{O}=(r_{y}F_{z}-r_{z}F_{y})\vec{i}-(r_{x}F_{z}-r_{z}F_{x})\vec{j}+(r_{x}F_{y}-r_{y}F_{x})\vec{k}$

- 각 항의 의미를 이해하면됨. 첫째 항은 x 방향 모멘트를 의미하고, 이는 y와 z 방향 힘에 의해 발생함. Z방향 힘이 x방향 모멘트를 발생시키려면 y방향 거리가 곱해져야함. 

 

 

o 힘 시스템의 모멘트 합

- 힘 시스템에 놓인 물체에서는 아래 등식이 성립함. 

$(\vec{M}_{R})_{O}=\sum (\vec{r}\times\vec{F})$

 

 

o 모멘트의 원리

- 한 점에 대한 힘의 모멘트는 그 점을 중심으로 한 힘의 성분들의 모멘트의 합과 같음. 수식으로 나타내면 아래와 같음. 

$\vec{M}_{O}=\vec{r}\times\vec{F}=\vec{r}\times (\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2})=\vec{r}\times\vec{F}_{1}+\vec{r}\times\vec{F}_{2}$