[정역학 요약정리] 2-8. 스칼라곱(Dot product)

2단원. 힘과 벡터 (Force and Vector)
2-8. 스칼라곱(Dot product)

 

- 두 직선 사이의 각도나, 특정 선 방향으로의 힘의 크기를 구해야하는 경우가 있음. 2차원에서는 삼각법으로 구할 수 있지만 3차원은 복잡함. 
- 벡터의 스칼라곱을 이용하여 위 문제를 해결할 수 있음
- 벡터의 스칼라곱은 아래와 같이 정의됨

$\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos\theta$

- 점곱(dot product), 또는 스칼라곱(scalar product)라고 부름. 

 

o 연산법칙

  1) 교환법칙 : $\vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A}$
  2) 스칼라를 곱함 : $a(\vec{A}\cdot\vec{B}=(a\vec{A})\cdot\vec{B}=\vec{A}\cdot(a\vec{B})$
  3) 분배법칙 : $\vec{A}\cdot(\vec{B}+\vec{D})=(\vec{A}\cdot\vec{B})+(\vec{A}\cdot\vec{D})$

 

o 데카르트 벡터 공식화

$\vec{A} \cdot \vec{B}=\left ( A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k} \right )\
\cdot \left ( B_{x}\vec{i}+B_{y}\vec{j}+B_{z}\vec{k} \right )$

전개하고 단위벡터 사이의 내적을 계산하면 아래 등식이 유도됨.

$\vec{A} \cdot \vec{B}=A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z}$

 

o 적용

  1) 두 벡터 사이의 각도
     - 두 벡터 사이의 각도는 아래와 같이 계산됨.

$\theta=\cos^{-1}\left ( \frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{AB} \right )$

  2) 어떤 벡터에서 특정 방향에 평행하거나 수직한 요소 구하기
   - 벡터 $\vec{A}$가 있을 때, 단위벡터가 $\vec{u}_{a}$인 방향에 평행한 요소는 아래와 같이 구할 수 있음. 

$A_{a}=\vec{A}\cdot\vec{u}_{a}=A\cos\theta$

- 이 값이 음수라면 두 벡터는 서로 다른 방향임.

- 위 요소를 벡터로 나타내면 아래와 같음

$\vec{A}_{a}=A_{a}\vec{u}_{a}$

- 수직요소는 삼각법칙을 이용하여 아래와 같이 구할 수 있음

$\vec{A}_{pependicular}=\vec{A}-\vec{A}_{a}$