[정역학 요약정리] 2-5. 데카르트 벡터

2단원. 힘과 벡터 (Force and Vector)

2-5. 데카르트 벡터

 

o오른손 법칙 좌표계

   - 엄지를 z축으로 두고, 나머지 손가락이 회전하는 방향이 x와 y축이 됨. 
   - 만약 x축을 기준으로 두었다면, 나머지 손가락의 회전방향이 y축과 z축이 됨. x->y->z->x 순서라고 생각하면 됨. 

 

o 벡터의 직사각형 요소

   - 3차원 공간 상의 벡터 A는 x,y,z, 축 요소로 분해됨. 
   - 벡터 A를 xy평면에 투영하고 평생사변형법으로 분해하여 x와 y성분을 알아냄. xy평면에 투영된 벡터를 A'라고 놓고, A'과 z축으로 만든 평면 상에서 A를 z축에 투영함

 

$\vec{A}=\vec{A}_{x}+\vec{A}_{y}+\vec{A}_{z}$

 

o 데카르트 벡터 표기법

  - i,j,k 가 x,y,z 축 방향 단위벡터로 사용됨. 

$\vec{A}=A_{x}\vec{i}+A_{y}\vec{j}+A_{z}\vec{k}$

 

o 데카르트 벡터의 크기

- 데카르트 벡터의 크기는 아래와 같이 계산됨

$A=\sqrt{A_{x}^2+A_{y}^2+A_{z}^2}$

 

o 방향코사인

 - 벡터 A의 방향을 벡터 A가 x,y,z축과 이루는 각도를 이용하여 표현하려는 시도임
 - 벡터 A가 x축과 이루는 각을 $\alpha$, y축과 이루는 각을 $\beta$, z축과 이루는 각을 $\gamma$라고 놓고 코사인 값을 구하면 아래와 같음. 이 코사인들을 방향코사인이라고 부름. 

$\cos\alpha=\frac{A_{x}}{A}$
$\cos\beta=\frac{A_{y}}{A}$
$\cos\gamma=\frac{A_{z}}{A}$

 - 이제 A의 단위벡터와 방향코사인의 관계를 알아보겠음. 벡터 A의 방향벡터는 아래와 같이 구할 수 있음. 

$\vec{u}_{A}=\frac{\vec{A}}{A }=\frac{A_{x} }{ A }\vec{i}+\frac{ A_{y} }{ A }\vec{j}+\frac{ A_{z} }{ A }\vec{k}$

 - 아래와 같이 방향코사인으로 바꿔쓸 수 있음. 

$\vec{u}_{A}=\cos\alpha\vec{i}+\cos\beta\vec{j}+\cos\gamma\vec{k}$

 - 단위벡터의 크기는 1이므로 아래 등식이 성립함

$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

 

o 수평과 수직 각도

 - 어떤 벡터는 크기,수평각,수직각을 이용하여 특정할 수 있음. 이런 방법도 종종 사용됨.
 - 벡터 A를 x,y평면에 투영한 벡터를 A'라고 놓고, A'가 x축과 이루는 각을 $\theta$, 벡터 A가 z축과 이루는 각을 $\phi$라고 놓음. 이때 벡터 A는 아래와 같이 표현됨. 

$\vec{A}=A\sin\phi\cos\theta\vec{i}+A\sin\phi\sin\theta\vec{j}+A\cos\phi\vec{k}$