[최적설계] SIMP 방법 (Solid Isotropic Material with Penalization method)

아래와 같은 물체가 있다고 합시다. 물체를 유한개의 요소로 나눈 상태입니다. 

우리는 부피를 줄이고 싶은 상황입니다. 전체 부피의 50%만 사용할 것입니다. 위 요소의 절반만을 사용하여 좌측이 고정되고 우측 하단이 힘을 받는 구조물은 여러가지로 만들어 볼 수 있습니다. 구조물을 한가지로 결정짓기 위해 아래와 같은 목적을 설정하겠습니다. 

목적 : compliance 를 최소화한다. 

compliance 는 아래와 같이 정의됩니다. 

$c=\sum_{e=1}^{N}\vec{u}_{e}^{T}k_{0}u_{e}$

전체 부피의 50%만 남기면서 compliance 는 최소화 하는 방향으로 최적화를 진행해야합니다. 전체 부피의 50%만을 남기려면 50%의 element 가 제거되야 합니다. element 를 어떤 방식으로 제거해야 할까요? element 를 제거하는 아이디어가 SIMP 입니다. 

각 element 의 밀도를 $\vec{x}$라고 놓겠습니다. $\vec{x}$는 $\vec{x}=\left \{ x_{1},x_{2},...,x_{N} \right \}$ 입니다. 각 밀도는 0~1 사이 값을 갖습니다. 밀도가 0이면 element가 사라지는 겁니다. 

각 element 의 강성은 초기 강성에 밀도를 곱하여 표현할 수 있습니다. 따라서 compliance 는 아래와 같이 변형할 수 있습니다. 

$c(\vec{x})=\sum_{e=1}^{N}(x_{e})\left \{ d_{e} \right \}\left [ k_{0} \right ]\left \{ d_{e} \right \}$

SIMP 방법에서는 여기서 한걸음 더 나아갑니다. 밀도에 p제곱을 하는 겁니다. 아래와 같습니다. 

$c(\vec{x})=\sum_{e=1}^{N}(x_{e})^p\left \{ d_{e} \right \}\left [ k_{0} \right ]\left \{ d_{e} \right \}$

어떤 element 의 강성은 아래와 같이 표현됩니다. e번 element 입니다. 

$E(e)=(x_{e})^{p}E_{0}$

 p를 도입하면 어떤 효과가 있을까요? p에 따른 영향은 아래와 같습니다. 

p가 1인 경우와 4인 경우를 비교해봅시다. 0.4라는 중간밀도가 나타났을 때, p=1인 경우 요소 물성은 $0.4E_{0}$가 됩니다. 반면 p=4인 경우에는 훨씬 작은 요소물성이 됩니다. p가 클 수록 중간 물성이 사라지고 극단적인 물성이 되는 경향이 나타납니다. 이는 최적화에서 더 좋은 결과를 얻습니다. 중간 물성은 실제 제작 시 구현하기 어렵기 때문입니다. 

그렇다면 p 값을 높게 하면 무조건 좋을까요? p가 너무 높으면 최적화 알고리즘의 안정성이 떨어지게 됩니다. 가장 좋은 p값은 3이라고 합니다. 

 

다시 최적화 문제로 돌아가 봅시다. 최적화의 목적은 compliance 를 최소화하는 것이었습니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

Minimize $c(\vec{x})=\sum_{e=1}^{N}(x_{e})^p\left \{ d_{e} \right \}\left [ k_{0} \right ]\left \{ d_{e} \right \}$

 

이때 만족해야하는 조건들이 있습니다. 사용된 부피가 전체 부피의 50%여야 합니다. 수식으로는 아래와 같이 나타냅니다. $V_{0}$가 초기 부피입니다. 

 

$\frac{V(\vec{x})}{V_{0}}=\frac{\sum_{e=1}^{N}x_{e}v_{e}}{V_{0}}=0.5$

 

또한 평형 조건이 성립해야합니다. 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. global 을 변위와 하중을 뜻하기 때문에 대문자로 표기합니다. 

 

$\left [ K \right ]\left \{ D \right \}=\left \{ F \right \}$

 

밀도가 0이 되면 gradient 기반 최적화 수행 시 분모가 0이 되는 문제가 발생합니다. 이런 문제를 방지하기 위해 아래 조건을 추가합니다. 0 보다 큰 x의 최솟값을 설정하는 것입니다. 

 

$0<x_{min}<x<x_{max}$

 

정리하면 아래와 같습니다. 

 

$\begin{array}{ll} \text{Minimize} & c(\mathbf{x}) = \sum_{e=1}^{N_e} (x_e)^p \mathbf{d}_e^T \mathbf{k}_e \mathbf{d}_e \\ \text{subject to} & \frac{V(\mathbf{x})}{V_{0}}=\frac{\sum_{e=1}^{N}x_{e}v_{e}}{V_{0}}=0.5 \\ & \left [ K \right ]\left \{ D \right \}=\left \{ F \right \} \\ & 0< \mathbf{x_{min}}\leq \mathbf{x} \leq 1 \end{array}$