주응력과 주변형률의 방향은 같나요?

주 응력을 구하는 수식은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{yx} & \sigma_{zx} \\  \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{zy} \\  \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \\  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{1}\\  n_{2}\\  n_{3} \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} \sigma & 0 & 0\\  0 & \sigma & 0\\  0 & 0 & \sigma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{1}\\  n_{2}\\  n_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\  0\\  0 \end{bmatrix}$

 

위 수식에서 계산되는 고유값이 주응력입니다. 

 

주변형률을 구하는 수식은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx} \\  \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy} \\  \varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \\  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{1}\\  n_{2}\\  n_{3} \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} \varepsilon & 0 & 0\\  0 & \varepsilon & 0\\  0 & 0 & \varepsilon \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_{1}\\  n_{2}\\  n_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\  0\\  0 \end{bmatrix}$

 

위 수식에서 계산되는 고유값이 주변형률입니다. 

 

주응력과 주변형률의 방향이 같다는 것은, 위 두 수식에서 계산되는 고유벡터가 같다는 것입니다. 고유벡터가 같으려면 응력과 변형률 텐서의 값이 같거나 실수배로 표현되야 합니다. 

 

응력과 변형률 텐서의 관계는 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\  \varepsilon_{yy} \\   \varepsilon_{zz} \\  \varepsilon_{xy} \\  \varepsilon_{yz} \\  \varepsilon_{zx}  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_{x}} & -\frac{\nu_{yx}}{E_{y}} & -\frac{\nu_{zx}}{E_{z}} & 0 & 0 & 0\\   -\frac{\nu_{xy}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}}  & -\frac{\nu_{zy}}{E_{z}}  &0  &0  &0 \\   -\frac{\nu_{xz}}{E_{x}} &  -\frac{\nu_{yz}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{z}}  & 0 &0  &0 \\  0 &0  &0  & G_{xx}  &0  &0 \\  0 &0  &0  & 0  &G_{yy}  &0 \\  0 &0  &0  & 0  & 0 &G_{zz} \\  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\  \sigma_{yy} \\   \sigma_{zz} \\  \sigma_{xy} \\  \sigma_{yz} \\  \sigma_{zx}  \end{bmatrix}$

 

둘이 같거나 실수배여야 하는데, 등방성재료라고 해도 불가능합니다. 

 

근데, 등방성재료에서는 주응력과 주변형률 orientation을 같다고 놓아도 큰 오차가 없었습니다. 이 부분은 더 공부해봐야겠네요.