주응력과 주변형률의 방향은 같나요?

주 응력을 구하는 수식은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} & \sigma_{yx} & \sigma_{zx} \\ 
\sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{zy} \\ 
\sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \\ 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_{1}\\ 
n_{2}\\ 
n_{3}
\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}
\sigma & 0 & 0\\ 
0 & \sigma & 0\\ 
0 & 0 & \sigma
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_{1}\\ 
n_{2}\\ 
n_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\ 
0\\ 
0
\end{bmatrix}$

 

위 수식에서 계산되는 고유값이 주응력입니다. 

 

주변형률을 구하는 수식은 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{zx} \\ 
\varepsilon_{xy} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{zy} \\ 
\varepsilon_{xz} & \varepsilon_{yz} & \varepsilon_{zz} \\ 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_{1}\\ 
n_{2}\\ 
n_{3}
\end{bmatrix}
-\begin{bmatrix}
\varepsilon & 0 & 0\\ 
0 & \varepsilon & 0\\ 
0 & 0 & \varepsilon
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_{1}\\ 
n_{2}\\ 
n_{3}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0\\ 
0\\ 
0
\end{bmatrix}$

 

위 수식에서 계산되는 고유값이 주변형률입니다. 

 

주응력과 주변형률의 방향이 같다는 것은, 위 두 수식에서 계산되는 고유벡터가 같다는 것입니다. 고유벡터가 같으려면 응력과 변형률 텐서의 값이 같거나 실수배로 표현되야 합니다. 

 

응력과 변형률 텐서의 관계는 아래와 같습니다. 

 

$\begin{bmatrix}
\varepsilon_{xx} \\ 
\varepsilon_{yy} \\  
\varepsilon_{zz} \\ 
\varepsilon_{xy} \\ 
\varepsilon_{yz} \\ 
\varepsilon_{zx} 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{E_{x}} & -\frac{\nu_{yx}}{E_{y}} & -\frac{\nu_{zx}}{E_{z}} & 0 & 0 & 0\\ 
 -\frac{\nu_{xy}}{E_{x}} & \frac{1}{E_{y}}  & -\frac{\nu_{zy}}{E_{z}}  &0  &0  &0 \\ 
 -\frac{\nu_{xz}}{E_{x}} &  -\frac{\nu_{yz}}{E_{y}} & \frac{1}{E_{z}}  & 0 &0  &0 \\ 
0 &0  &0  & G_{xx}  &0  &0 \\ 
0 &0  &0  & 0  &G_{yy}  &0 \\ 
0 &0  &0  & 0  & 0 &G_{zz} \\ 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sigma_{xx} \\ 
\sigma_{yy} \\  
\sigma_{zz} \\ 
\sigma_{xy} \\ 
\sigma_{yz} \\ 
\sigma_{zx} 
\end{bmatrix}$

 

둘이 같거나 실수배여야 하는데, 등방성재료라고 해도 불가능합니다. 

 

근데, 등방성재료에서는 주응력과 주변형률 orientation을 같다고 놓아도 큰 오차가 없었습니다. 이 부분은 더 공부해봐야겠네요.